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Code V中的差分光线追迹(下)

许宁翔,Cybernet Taiwan,应用工程师

引言

在上一篇文章「CODE V中的差分光线追迹(上)」中,我们说明了差分光线的定义,而在接下来的文章里,将进一步介绍差分光线的应用。

 

差分光线追迹的应用

一阶特性

差分光线数据通常用来计算光学系统的一阶特性(事实上,一阶特性通常是由差分光线数据所定义的)。对旋转对称的光学系统而言,基底光线按照惯例会对应到系统轴。在这样的情况中,系统的对称性将使差分光线信息的矩阵A、B、C和D被简化为纯量A、B、C和D。


如同图四所示,差分光线信息可被用来计算某些常见的一阶特性,例如近轴影像位置及放大率。

图四:在光学系统中,使用差分光线信息决定近轴影像位置及放大率


轴上光线的差分光线信息可以用同样的方法决定光学系统中的基点(Cardinal points)位置及每个表面上的光斑近似大小。


当系统没有对称性时,计算会更加复杂,然而概念是一样的:以物体中心出发,通过孔径光圈中心的光线做为基底光线,然后计算此光线的差分光线数据,并以此结果计算影像位置与焦点等参数[1]。


高斯光束传播

关于如何模拟高斯光束传播的问题,其属于物理光学范畴。然而,几何光学,特别是差分光线资料,也可用来模拟高斯光束的传播。考虑一高斯光束沿轴向入射,穿越一对称系统,假设此光束在开始时宽度、波前半径,在通过这个对称系统后,宽度为、波前半径为,如图五所示。接着计算基底光线(对应到系统轴)的差分光线信息,计算结果可用来决定出射光束参数,其为入射光束参数的函数[2]。

通常可由定义一复数曲率半径来表示:


其中,为波长,是负1的平方根。高斯光束在通过系统后的复数曲率半径,可由入射的高斯光束及差分光线信息所决定,如下所示:


出射的高斯光束宽度及其波前曲率半径可以由复数曲率半径决定。


最后,值得注意的是,在高斯光束非沿轴向传播的系统中,计算会变得更复杂,但仍然只需高斯光束的中心光线的差分光线信息[3]。

图五:一道通过旋转对称系统的高斯光束


定义公差

作为给出一光学系统制造公差之过程的一部分,必需了解此光学系统被扰动时,光线的改变情形。在CODE V所提供的TOR快速计算公差功能中,公差值通常就是藉由考虑波前变化所决定。因此,我们所感兴趣的是光线从给定物点到出瞳上某一点的长度(Optical Path Length, OPL)改变量,而非影像面上光线位置的变化。由各种光线在光学系统被扰动时OPL的改变量,就可以决定影像在质量上的改变,以这些改变为依据,可接受的制造公差就能被计算出来。


乍看之下,差分光线信息似乎有助于决定光学系统的制造公差。举例来说,图六比较了一表面受扰动(假设曲率从变为的光学系统与一表面不受扰动的光学系统,其中,光线从物体上的给定点出发,并经过出瞳上的给定点。虽然图中暗示差分光线信息在决定光程路径长度上是相当有用的,然而由于费马原理(Fermat's principle),此文中定义的差分光线数据并非必要的[4]。虽然细节有些复杂,不过最后在OPL改变量的评估上,只需要用到表面高度的改变(如图六所示)与光线未受扰动时的入射及折射角:

 


其中,及分别是表面之前与之后的折射率。虽然严格来说差分光线信息并非用于此类计算,然而作为整个CODE V公差计算不可或缺的一部份[5],这种对OPL改变的近似形式常被归类为差分光线追迹。

图六:系统受扰动之示意图。图中显示一道光线通过扰动系统,另一道则通过未扰动之系统。两道光线从同一起点出发,并经过出瞳上的同一点


值得注意的是优化和公差求解之间的关联。确切而言,差分光线信息也被用在CODE V某些评价函数的优化过程中[6]。例如,使用差分光线追迹可以使CODE V有效地提升MTF类型评价函数的优化速度[7]。


计算差分光线信息

最简单计算差分光线信息的方法就是对一组在基底光线附近的真实光线进行追迹,并使用有限差分法去估计差分光线信息。这和使用有限差分法去对函数的导数做数值计算是类似的,如图七所示。

对于一基底光线沿轴移动的对称系统而言,需要额外两条光线(靠近基底光线)来估计差分光线信息。而在最一般的情况下,则会需要到四条(类似于传统的有限差分法,使用越多的光线做计算,估计的准确度就会越高)。


图七:有限差分概念示意图


结论

一般的差分光线追迹研究可以追溯至超过一百年前[8],涉及差分光线信息的计算技巧已被研究的非常透澈。而除了上述讨论的工作,许多人也在这个领域做出了贡献[9]。这些技巧亦已被Synopsys的科学家了解透澈,他们已连同上述的应用在内,将差分光线其他具计算优势之应用都运用于CODE V中。


参考文献

[1] Bryan D. Stone and G.W. Forbes, “Characterization of first-order optical properties for asymmetric systems,”J. Opt. Soc. Am. A9,478-489 (1992).

[2] Anthony E. Siegman,Lasers(University Science Books, Mill Valley,CA, 1986), Sec. 20.2.

[3] See Arnaud and Kogelnik, “Gaussian Light Beams with General Astigmatism“,Applied Optics, Vol. 8, No. 8, 1969 and Suematsu and Fukinuki, “Matrix Theory of Light Beam Waveguides”,Bull. Tokyo Inst. Tech, Number 88, 1968.

[4] This is described, for example, in Bryan D. Stone, “Perturbations of optical systems,”J. Opt. Soc. Am. A14, 2837-2849 (1997).

[5] See, for example, H.H. Hopkins and H.J. Tiziani,Brit. J. Appl. Phys.,17, 33 (1966) or M. RimmerApplied Optics, Vol. 9 Issue 3 Page 533 (March 1970).

[6] For a description of the use of differential ray tracing in optimization, see Donald P. Feder, “Differentiation of ray-tracing equations with respect to construction parameters of rotationally symmetric optics,”J. Opt. Soc. Am.58, 1494-1505 (1968).

[7] M.P. Rimmer, T.J. Bruegge and T.G. Kuper, “MTF Optimization in Lens Design,”SPIE, Vol. 1354, 1990, p. 83.

[8] For example, these concepts are discussed by J. Larmor, “The characteristics of an asymmetric optical combination,”Proc. Lond. Math. Soc. 20, 181-194 (1889).

[9] As examples, see T. Smith, “The primordial coefficients of asymmetrical lenses,”Trans. Opt. Soc.29, 167-178 (1928); R.K. Luneburg,Mathematical Theory of Optics(U. California Press, Los Angeles, 1964) Sec. 36; M. Herzberger, First-order laws in asymmetrical optical systems — part I. The image of a given congruence: fundamental conceptions,”J. Opt. Soc. Am. 26, 254-359 (1936); P.J. Sands, “First-order optics of the general optical system,”J. Opt. Soc. Am. 62, 369-372 (1972).xf(x)f(x0)f(x0+δ x)x0x0+δxLine defined by these two pointgives a linear approximation tof(x)which is valid in the vicinity ofx=x0


这篇文章是由Bryan D. Stone博士所撰写,思渤科技工程部翻译。

Bryan D. Stone目前于Synopsys的光学解决方案部担任研发部门之工程师。


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